On considère les points A ( 2 ; 0 ) et C ( 2 ; 2 ) , et la droite ( D ) d'équation ( 1 − m ) x + y − 2 = 0 avec m  = 1 . Déterminer, en fonction de m , les distances d = d ( A ; ( D )) et d ′ = d ( C ; ( D )) . Déterminer la (ou les) valeur(s) de m telles que d ′ = 2 d .

Distance d'un point à une droite paramétrée

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On considère les points $A (2; 0)$ et $C (2; 2)$ , et la droite $(D)$ d'équation $(1 - m) x + y - 2 = 0$ avec $m \neq = 1$ .

Déterminer, en fonction de $m$ , les distances $d = d (A; (D))$ et $d^{'} = d (C; (D))$ .
Déterminer la (ou les) valeur(s) de $m$ telles que $d^{'} = 2 d$ .

Indices

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1 Indice 1

Utilise la formule de la distance d'un point $M_0(x_0;y_0)$ à une droite $ax+by+c=0$ : $d=\\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\\sqrt{a^2+b^2}}$, avec ici $a=1-m$, $b=1$, $c=-2$.

2 Indice 2

Remplace les coordonnées de $A$ puis de $C$ dans la formule pour obtenir $d$ et $d'$ en fonction de $m$ ; simplifie chaque numérateur.

3 Indice 3

Pour l'équation $d'=2d$, remarque que le dénominateur $\\sqrt{1+(1-m)^2}$ est commun et se simplifie : il reste à résoudre $|1-m|=2|m|$ en élevant au carré.

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Utilise la formule de la distance d'un point $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ à une droite $a x + b y + c = 0$ : $d = df r a c ∣ a x_{0} + b y_{0} + c ∣ s q r t a^{2} + b^{2}$ , avec ici $a = 1 - m$ , $b = 1$ , $c = - 2$ .

Remplace les coordonnées de $A$ puis de $C$ dans la formule pour obtenir $d$ et $d^{'}$ en fonction de $m$ ; simplifie chaque numérateur.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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