Soient A ( 1 ; 2 5 ) , B ( 1 ; − 2 3 ) et C ( − 1 ; 2 1 ) trois points. Montrer que le triangle A B C est rectangle en C . Montrer que x 2 + y 2 − 2 x − y − 4 11 = 0 est une équation du cercle ( C ) circonscrit au triangle A B C , puis déterminer son centre Ω et son rayon r . Soit la droite ( D ) : x + 2 y = 0 . Calculer d ( Ω ; ( D )) et en déduire la position relative de ( C ) et ( D ) .

Cercle circonscrit à un triangle rectangle

Difficile

Énoncé

Soient $A (1; \frac{5}{2})$ , $B (1; - \frac{3}{2})$ et $C (- 1; \frac{1}{2})$ trois points.

Montrer que le triangle $A B C$ est rectangle en $C$ .
Montrer que $x^{2} + y^{2} - 2 x - y - \frac{11}{4} = 0$ est une équation du cercle $(C)$ circonscrit au triangle $A B C$ , puis déterminer son centre $Ω$ et son rayon $r$ .
Soit la droite $(D) : x + 2 y = 0$ . Calculer $d (Ω; (D))$ et en déduire la position relative de $(C)$ et $(D)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que le triangle est rectangle en $C$, calcule les vecteurs $\\overrightarrow{CA}$ et $\\overrightarrow{CB}$ et vérifie que leur produit scalaire est nul.

2 Indice 2

Pour l'équation du cercle, vérifie que les trois points satisfont l'équation donnée, puis mets-la sous forme canonique $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$.

3 Indice 3

Pour la position relative, utilise la formule de distance d'un point à une droite : $d(\\Omega;(D))=\\dfrac{|a x_0+b y_0+c|}{\\sqrt{a^2+b^2}}$, puis compare avec $r$.

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Pour montrer que le triangle est rectangle en $C$ , calcule les vecteurs $o v er r i g h t a r r o w C A$ et $o v er r i g h t a r r o w C B$ et vérifie que leur produit scalaire est nul.

Pour l'équation du cercle, vérifie que les trois points satisfont l'équation donnée, puis mets-la sous forme canonique $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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