Carré, triangles équilatéraux et trois points alignés

Difficile
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Énoncé

est un carré. À l'extérieur du carré, on construit un triangle équilatéral , et à l'intérieur on construit un triangle équilatéral . Soit un point tel que le triangle soit équilatéral, avec à l'intérieur de ce triangle.

On considère la rotation de centre et d'angle .

  1. Déterminer , et .
  2. En déduire que les points , et sont alignés.

Indices

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1 Indice 1
Pour chaque image demandée, utilise le fait qu'un triangle équilatéral fournit à la fois une égalité de longueurs ($CA=CB$ par exemple) et un angle orienté de $\dfrac{\pi}{3}$ entre les vecteurs correspondants.
2 Indice 2
Identifie précisément dans chaque triangle équilatéral ($DCJ$, $BCI$, $ACE$) quel sommet est envoyé sur quel autre par la rotation $r_C$.
3 Indice 3
Pour l'alignement, utilise le fait qu'une rotation conserve les angles orientés entre droites : l'image de la droite $(DB)$ par $r_C$ est la droite $(JI)$, puis relie cette information aux angles connus du carré et des triangles équilatéraux pour montrer que $A$, $J$, $I$ sont alignés.

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La méthode — par où commencer

Pour chaque image demandée, utilise le fait qu'un triangle équilatéral fournit à la fois une égalité de longueurs ( par exemple) et un angle orienté de entre les vecteurs correspondants.

Identifie précisément dans chaque triangle équilatéral (, , ) quel sommet est envoyé sur quel autre par la rotation .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Image d'un cercle par rotation et points alignés Tous les exercices du chapitre Rotation dans un carré : intersections, égalités et perpendiculaires