Rotation dans un carré : intersections, égalités et perpendiculaires

$ABCD$ est un carré de centre $O$ tel que $\overline{(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})}\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]$.

Soient $I$ et $J$ deux points tels que $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BJ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$. Les droites $(IC)$ et $(JD)$ coupent respectivement $(BD)$ et $(AC)$ en $M$ et $N$. Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$.

1. Déterminer $r(A)$ et $r(B)$, puis montrer que $r(I)=J$.
2. (a) Déterminer l'image des droites $(BD)$ et $(IC)$ par $r$. (b) En déduire que $r(M)=N$.
3. (a) Montrer que $IM=JN$. (b) Montrer que $(CM)\perp (DN)$.