Soit ( C ) un cercle de centre O et A un point de ( C ) . Soit r la rotation de centre A et d'angle 2 π . Construire le cercle ( C ′ ) image de ( C ) par r . A et B sont les points d'intersection de ( C ) et ( C ′ ) . Soit M un point de ( C ) . On note M ′ et B ′ les images de M et B par r . Montrer que ( B M ) ⊥ ( B ′ M ′ ) , puis en déduire que les points M , B et M ′ sont alignés.

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Intermédiaire

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Soit $(C)$ un cercle de centre $O$ et $A$ un point de $(C)$ . Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{π}{2}$ .

Construire le cercle $(C^{'})$ image de $(C)$ par $r$ .
$A$ et $B$ sont les points d'intersection de $(C)$ et $(C^{'})$ . Soit $M$ un point de $(C)$ . On note $M^{'}$ et $B^{'}$ les images de $M$ et $B$ par $r$ . Montrer que $(B M) ⊥ (B^{'} M^{'})$ , puis en déduire que les points $M$ , $B$ et $M^{'}$ sont alignés.

Indices

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1 Indice 1

Pour la perpendicularité, rappelle-toi qu'une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ transforme toute droite en une droite perpendiculaire. Que deviennent les droites $(BM)$ et $(B'M')$ par la rotation $r$ ?

2 Indice 2

Pour l'alignement, utilise les angles inscrits dans les cercles $(C)$ et $(C')$ qui ont deux points communs $A$ et $B$. Calcule l'angle $\overline{(\overrightarrow{BM}\,;\,\overrightarrow{BM'})}$ en passant par le point $A$.

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Pour la perpendicularité, rappelle-toi qu'une rotation d'angle $\frac{π}{2}$ transforme toute droite en une droite perpendiculaire. Que deviennent les droites $(B M)$ et $(B^{'} M^{'})$ par la rotation $r$ ?

Pour l'alignement, utilise les angles inscrits dans les cercles $(C)$ et $(C^{'})$ qui ont deux points communs $A$ et $B$ . Calcule l'angle $\overline{(B M; B M^{'})}$ en passant par le point $A$ .

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