Triangle équilatéral image et nature du triangle OAI

Énoncé

$ABCD$ est un carré de centre $O$ tel que $\overline{(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})}\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]$.

Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi }{3}$, et soient $M$, $N$, $P$ les points définis par $r(B)=M$, $r(C)=N$, $r(D)=P$.

1. Montrer que $NM=PN$ et que $\overline{(\overrightarrow{NP};\overrightarrow{NM})}\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]$.
2. Montrer que $(MP)\perp (AN)$.
3. Soit $I$ le point tel que $(MP)\cap (AN)=\{I\}$. Montrer que $r(O)=I$, puis en déduire la nature du triangle $OAI$.