Manipulations trigonométriques Montrer que pour tout x ∈ ] 0 ; 2 π [ : 1 + cos ( 2 x ) + cos ( 4 x ) sin ( 2 x ) + sin ( 4 x ) + sin ( 6 x ) = 2 sin ( 2 x ) . Écrire sin ( x ) 1 − cos ( x ) en fonction de tan ( 2 x ) , pour x ∈ ] 0 ; 2 π [ . Déterminer les valeurs exactes de : A = cos ( 12 π ) + cos ( 12 5 π ) ; B = cos ( 12 π ) ⋅ cos ( 12 5 π )

Identités, somme-produit et valeurs de produits remarquables

Difficile

Énoncé

Manipulations trigonométriques

Montrer que pour tout $x \in] 0; \frac{π}{2} [$ : $\frac{sin ( 2 x ) + sin ( 4 x ) + sin ( 6 x )}{1 + cos ( 2 x ) + cos ( 4 x )} = 2 sin (2 x)$ .
Écrire $\frac{1 - cos ( x )}{sin ( x )}$ en fonction de $tan (\frac{x}{2})$ , pour $x \in] 0; \frac{π}{2} [$ .
Déterminer les valeurs exactes de :
$A = cos (\frac{π}{12}) + cos (\frac{5 π}{12}); B = cos (\frac{π}{12}) \cdot cos (\frac{5 π}{12})$

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, groupe $\sin(2x)+\sin(6x)$ avec la formule de transformation somme-produit, et utilise $1+\cos(4x)=2\cos^2(2x)$ au dénominateur.

2 Indice 2

Pour la question 2, utilise les formules $1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$ et $\sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2$.

3 Indice 3

Pour la question 3, remarque que $\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}$, puis utilise les formules de transformation somme-produit et produit-somme.

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Pour la question 1, groupe $sin (2 x) + sin (6 x)$ avec la formule de transformation somme-produit, et utilise $1 + cos (4 x) = 2 cos^{2} (2 x)$ au dénominateur.

Pour la question 2, utilise les formules $1 - cos x = 2 sin^{2} \frac{x}{2}$ et $sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$ .

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