Somme de quatre sinus Pour tout x ∈ R , on pose A ( x ) = sin ( x ) + sin ( 2 x ) + sin ( 3 x ) + sin ( 4 x ) . Calculer A ( 0 ) , A ( π ) et A ( 4 π ) . Transformer en produits : sin ( 3 x ) + sin ( x ) et sin ( 4 x ) + sin ( 2 x ) . Montrer que A ( x ) = 4 cos ( x ) sin ( 2 5 x ) cos ( 2 x ) . Résoudre dans R puis dans [ 0 ; π ] l'équation A ( x ) = 0 .

Étude d'une somme de sinus : $A(x)=\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x$

Difficile

Énoncé

Somme de quatre sinus

Pour tout $x \in R$ , on pose $A (x) = sin (x) + sin (2 x) + sin (3 x) + sin (4 x)$ .

Calculer $A (0)$ , $A (π)$ et $A (\frac{π}{4})$ .
Transformer en produits : $sin (3 x) + sin (x)$ et $sin (4 x) + sin (2 x)$ .
Montrer que $A (x) = 4 cos (x) sin (\frac{5 x}{2}) cos (\frac{x}{2})$ .
Résoudre dans $R$ puis dans $[0; π]$ l'équation $A (x) = 0$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, remplace directement $x$ par les valeurs données dans chaque sinus.

2 Indice 2

Pour la question 2, utilise la formule $\sin p + \sin q = 2\sin\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$.

3 Indice 3

Pour la question 3, regroupe astucieusement $\sin x + \sin 4x$ d'un côté et $\sin 2x + \sin 3x$ de l'autre, transforme chaque paire en produit, puis mets $\sin\dfrac{5x}{2}$ en facteur commun avant d'utiliser $\cos p + \cos q = 2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$.

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Pour la question 1, remplace directement $x$ par les valeurs données dans chaque sinus.

Pour la question 2, utilise la formule $sin p + sin q = 2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$ .

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