Factorisation et résolution de $A(x)=\cos 2x+\cos x-\sin x$

Difficile
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Énoncé

Une expression à factoriser

Pour tout , on pose .

  1. Montrer que .

  2. Résoudre dans puis dans l'équation .

Indices

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1 Indice 1
Utilise $\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x$ et factorise cette différence de carrés en $(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$.
2 Indice 2
Il reste ensuite à factoriser par $(\cos x-\sin x)$ dans toute l'expression $A(x)$.
3 Indice 3
Pour résoudre $A(x)=0$, traite séparément chaque facteur nul ; pour le second facteur, écris $\cos x+\sin x=\sqrt{2}\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$.

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La méthode — par où commencer

Utilise et factorise cette différence de carrés en .

Il reste ensuite à factoriser par dans toute l'expression .

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Étude d'une somme de sinus : $A(x)=\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x$ Tous les exercices du chapitre Étude de $f(x)=\sqrt{3}\cos x\sin x-\sin^2 x$