Périodicité, forme réduite et application Soit f définie sur R par f ( x ) = 3 cos x sin x − sin 2 ( x ) . Montrer que f est périodique de période π . Montrer que pour tout x ∈ R : f ( x ) = 2 sin ( x ) cos ( x + 6 π ) . Montrer que pour tout x ∈ R : f ( x ) = sin ( 2 x + 6 π ) − 2 1 . Calculer f ( 12 π ) et en déduire la valeur exacte de sin ( 12 π ) . Résoudre dans R puis dans [ 0 ; π ] l'équation f ( x ) = 0 .

Étude de $f(x)=\sqrt{3}\cos x\sin x-\sin^2 x$

Difficile

Énoncé

Périodicité, forme réduite et application

Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = 3 cos x sin x - sin^{2} (x)$ .

Montrer que $f$ est périodique de période $π$ .
Montrer que pour tout $x \in R$ : $f (x) = 2 sin (x) cos (x + \frac{π}{6})$ .
Montrer que pour tout $x \in R$ : $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{2}$ .
Calculer $f (\frac{π}{12})$ et en déduire la valeur exacte de $sin (\frac{π}{12})$ .
Résoudre dans $R$ puis dans $[0; π]$ l'équation $f (x) = 0$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la périodicité, remplace $x$ par $x+\\pi$ et utilise $\\cos(x+\\pi)=-\\cos x$, $\\sin(x+\\pi)=-\\sin x$.

2 Indice 2

Pour les formes réduites, linéarise avec $\\cos x \\sin x = \\dfrac{1}{2}\\sin(2x)$ et $\\sin^2 x = \\dfrac{1-\\cos(2x)}{2}$, puis compare à $2\\sin x\\cos\\left(x+\\dfrac{\\pi}{6}\\right)$ développé avec la formule de Simpson.

3 Indice 3

Pour la question 4, calcule $f\\left(\\dfrac{\\pi}{12}\\right)$ avec les deux formes réduites et égalise-les pour isoler $\\sin\\left(\\dfrac{\\pi}{12}\\right)$. Pour la question 5, résous $\\sin\\left(2x+\\dfrac{\\pi}{6}\\right)=\\dfrac{1}{2}$.

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Pour la périodicité, remplace $x$ par $x + p i$ et utilise $cos (x + p i) = - cos x$ , $s in (x + p i) = - s in x$ .

Pour les formes réduites, linéarise avec $cos x s in x = df r a c 12 s in (2 x)$ et $s i n^{2} x = df r a c 1 - cos (2 x) 2$ , puis compare à $2 s in x cos l e f t (x + df r a c p i 6 r i g h t)$ développé avec la formule de Simpson.

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