La quantité demandée d'un produit (en milliers d'unités) en fonction de son prix x (en dizaines de dirhams) est modélisée par D ( x ) = 120 e − 0 , 2 x pour x ∈ [ 0 ; 20 ] . Calculer la quantité demandée pour un prix de 50 dirhams (soit x = 5 ). Étudier les variations de D sur [ 0 ; 20 ] . La recette est donnée par R ( x ) = x × D ( x ) = 120 x e − 0 , 2 x (en milliers de dizaines de dirhams). Calculer R ′ ( x ) et déterminer le prix qui maximise la recette.

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La quantité demandée d'un produit (en milliers d'unités) en fonction de son prix $x$ (en dizaines de dirhams) est modélisée par $D (x) = 120 e^{- 0, 2 x}$ pour $x \in [0; 20]$ .

Calculer la quantité demandée pour un prix de $50$ dirhams (soit $x = 5$ ).
Étudier les variations de $D$ sur $[0; 20]$ .
La recette est donnée par $R (x) = x \times D (x) = 120 x e^{- 0, 2 x}$ (en milliers de dizaines de dirhams). Calculer $R^{'} (x)$ et déterminer le prix qui maximise la recette.

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer $R'(x)$, utilise la formule de dérivation d'un produit : $(u \times v)' = u' \times v + u \times v'$. Ici, pose $u(x) = 120x$ et $v(x) = e^{-0{,}2x}$.

2 Indice 2

Après avoir calculé $R'(x)$, factorise par $120\,e^{-0{,}2x}$ pour obtenir une expression du type $120\,e^{-0{,}2x} \times (\text{quelque chose})$. Ensuite, cherche quand ce facteur « quelque chose » s'annule.

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Pour calculer $R^{'} (x)$ , utilise la formule de dérivation d'un produit : $(u \times v)^{'} = u^{'} \times v + u \times v^{'}$ . Ici, pose $u (x) = 120 x$ et $v (x) = e^{- 0, 2 x}$ .

Après avoir calculé $R^{'} (x)$ , factorise par $120 e^{- 0, 2 x}$ pour obtenir une expression du type $120 e^{- 0, 2 x} \times (quelque chose)$ . Ensuite, cherche quand ce facteur « quelque chose » s'annule.

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