Étude complète d'une fonction

Difficile

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = (2 - x) e^{x}$ .

a) Calculer $x \to - \infty lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .

b) Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe.

c) Dresser le tableau de variations de $f$ .

d) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour les limites, écris $f(x)=2e^x - xe^x$ et utilise les croissances comparées (limite de $xe^x$ en $-\\infty$).

2 Indice 2

Pour dériver, utilise la formule du produit $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=2-x$ et $v(x)=e^x$ ; le signe de $f'$ dépend du signe de $1-x$ car $e^x>0$.

3 Indice 3

Pour la tangente en $0$, calcule $f(0)$ et $f'(0)$ puis utilise $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

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Pour les limites, écris $f (x) = 2 e^{x} - x e^{x}$ et utilise les croissances comparées (limite de $x e^{x}$ en $- in f t y$ ).

Pour dériver, utilise la formule du produit $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ avec $u (x) = 2 - x$ et $v (x) = e^{x}$ ; le signe de $f^{'}$ dépend du signe de $1 - x$ car $e^{x} > 0$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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