Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = e x + 1 e x . On note ( C ) sa courbe. Montrer que f ′ ( x ) = ( e x + 1 ) 2 e x et en déduire le sens de variation de f . Calculer x → − ∞ lim f ( x ) et x → + ∞ lim f ( x ) . Déterminer une équation de la tangente ( T ) à ( C ) au point d'abscisse 0 .

Étude complète et tangente d'une fonction quotient-exponentielle

Difficile

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1}$ . On note $(C)$ sa courbe.

Montrer que $f^{'} (x) = \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}}$ et en déduire le sens de variation de $f$ .
Calculer $x \to - \infty lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .
Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d'abscisse $0$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour dériver $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$, utilisez la formule du quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u(x)=e^x$ et $v(x)=e^x+1$.

2 Indice 2

Après simplification, observez que $f'(x)$ s'écrit comme un rapport de deux quantités toujours strictement positives : que pouvez-vous en déduire sur le sens de variation ?

3 Indice 3

Pour les limites, factorisez par $e^x$ au numérateur et au dénominateur pour la limite en $+\infty$, et utilisez $e^x\to 0$ pour la limite en $-\infty$. Pour la tangente en $0$, calculez $f(0)$ et $f'(0)$.

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Pour dériver $f (x) = \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1}$ , utilisez la formule du quotient $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ avec $u (x) = e^{x}$ et $v (x) = e^{x} + 1$ .

Après simplification, observez que $f^{'} (x)$ s'écrit comme un rapport de deux quantités toujours strictement positives : que pouvez-vous en déduire sur le sens de variation ?

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