Modélisation : coût marginal et optimisation avec exponentielle

Difficile
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Une entreprise produit centaines d'articles (). Le bénéfice, en milliers de dirhams, est modélisé par .

  1. Montrer que .
  2. En déduire la quantité qui maximise le bénéfice et la valeur de ce bénéfice maximal (on donne ).

Indices

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1 Indice 1
Écris $B$ comme un produit $uv$ avec $u(x) = x-1$ et $v(x) = e^{-0{,}5x+1}$, puis applique la formule $(uv)' = u'v + uv'$.
2 Indice 2
Factorise le résultat par $e^{-0{,}5x+1}$ qui est toujours strictement positif.
3 Indice 3
Pour la question 2, étudie le signe de $(1{,}5 - 0{,}5x)$ pour déterminer les variations de $B$, puis calcule $B(3)$ en utilisant $e^{0{,}5} = (e^{0{,}25})^2$.

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La méthode — par où commencer

Écris comme un produit avec et , puis applique la formule .

Factorise le résultat par qui est toujours strictement positif.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Etude de fonction et asymptote horizontale Tous les exercices du chapitre Resolution d'une equation exponentielle