La part de marche (en %) d'un nouveau produit t mois apres son lancement est modelisee, pour t ⩾ 0 , par : P ( t ) = 40 ( 1 − e − 0 , 2 t ) . 1) Calculer P ( 0 ) et interpreter. 2) Etudier le sens de variation de P sur [ 0 ; + ∞ [ . 3) Calculer t → + ∞ lim P ( t ) et interpreter (part de marche plafond). 4) La vitesse de progression est donnee par P ′ ( t ) . Calculer P ′ ( 0 ) et interpreter (on donne 40 × 0 , 2 = 8 ).

Diffusion d'un produit sur le marche

Difficile

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La part de marche (en %) d'un nouveau produit $t$ mois apres son lancement est modelisee, pour $t ⩾ 0$ , par :

$P (t) = 40 (1 - e^{- 0, 2 t})$ .

1) Calculer $P (0)$ et interpreter.

2) Etudier le sens de variation de $P$ sur $[0; + \infty [$ .

3) Calculer $t \to + \infty lim P (t)$ et interpreter (part de marche plafond).

4) La vitesse de progression est donnee par $P^{'} (t)$ . Calculer $P^{'} (0)$ et interpreter (on donne $40 \times 0, 2 = 8$ ).

Indices

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1 Indice 1

Pour $P(0)$, remplace simplement $t=0$ dans la formule et simplifie $e^0$.

2 Indice 2

Pour la derivee, pose $u(t) = -0,2t$ et utilise la regle de derivation de $e^{u(t)}$ ; le signe de $P'(t)$ depend uniquement du signe de $e^{-0,2t}$.

3 Indice 3

Pour la limite en $+\infty$, rappelle-toi que $e^{-0,2t} \to 0$ quand $t \to +\infty$.

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Pour $P (0)$ , remplace simplement $t = 0$ dans la formule et simplifie $e^{0}$ .

Pour la derivee, pose $u (t) = - 0, 2 t$ et utilise la regle de derivation de $e^{u (t)}$ ; le signe de $P^{'} (t)$ depend uniquement du signe de $e^{- 0, 2 t}$ .

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