Fonction de coût marginal et logarithme

Difficile
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Énoncé

Le coût total de production de centaines d'unités d'un bien (en milliers de dirhams) est modélisé sur par :

.

  1. Calculer (coût marginal) et le mettre sous la forme d'un quotient.
  2. Étudier le signe de sur .
  3. En déduire la (ou les) quantité(s) qui minimise(nt) localement le coût total.

Indices

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1 Indice 1
Dérive $C(x) = x^2 - 8x + 6\\ln x + 12$ terme à terme, en te rappelant que la dérivée de $\\ln x$ est $\\frac{1}{x}$, puis mets tout au même dénominateur $x$.
2 Indice 2
Factorise le numérateur $2x^2 - 8x + 6$ en cherchant deux racines évidentes du trinôme $x^2-4x+3$.
3 Indice 3
Le signe de $C'(x)$ sur $]0;+\\infty[$ est celui du numérateur (puisque $x>0$) : étudie ce signe autour des racines trouvées pour repérer où $C'$ change de signe de négatif à positif.

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La méthode — par où commencer

Dérive terme à terme, en te rappelant que la dérivée de est , puis mets tout au même dénominateur .

Factorise le numérateur en cherchant deux racines évidentes du trinôme .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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