Soit la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = x ln x . 1) Calculer f ′ ( x ) et étudier les variations de f . 2) Déterminer le maximum de f sur ] 0 ; + ∞ [ . 3) Déterminer une équation de la tangente ( T ) à la courbe de f au point d'abscisse x 0 = 1 .

Fonction quotient avec logarithme et tangente

Difficile

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Soit la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{ln x}{x} .$

1) Calculer $f^{'} (x)$ et étudier les variations de $f$ .
2) Déterminer le maximum de $f$ sur $] 0; + \infty [$ .
3) Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_{0} = 1$ .

Indices

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1 Indice 1

Utilisez la formule de dérivée d'un quotient avec $u = \ln x$ et $v = x$.

2 Indice 2

Étudiez le signe de $f'(x)$ en comparant $\ln x$ à $1$, ce qui revient à comparer $x$ à $e$.

3 Indice 3

Pour la tangente en $x_0=1$, calculez $f(1)$ et $f'(1)$, puis appliquez $y = f'(1)(x-1)+f(1)$.

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Utilisez la formule de dérivée d'un quotient avec $u = ln x$ et $v = x$ .

Étudiez le signe de $f^{'} (x)$ en comparant $ln x$ à $1$ , ce qui revient à comparer $x$ à $e$ .

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