On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = x − ln x . 1) Calculer x → 0 + lim f ( x ) et x → + ∞ lim f ( x ) . 2) Calculer f ′ ( x ) et étudier son signe. 3) Dresser le tableau de variations et en déduire que f ( x ) > 0 pour tout x > 0 .

Étude d'une fonction faisant intervenir le logarithme

Difficile

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = x - ln x .$

1) Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .
2) Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe.
3) Dresser le tableau de variations et en déduire que $f (x) > 0$ pour tout $x > 0$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la limite en $0^+$, étudie séparément le comportement de x et de $-\ln x$.

2 Indice 2

Pour la dérivée, calcule $f'(x) = 1 - \frac{1}{x}$ et mets-la sous la forme $\frac{x-1}{x}$ pour étudier son signe.

3 Indice 3

Utilise le tableau de variations pour trouver le minimum de f, puis compare sa valeur à 0.

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Pour la limite en $0^{+}$ , étudie séparément le comportement de x et de $- ln x$ .

Pour la dérivée, calcule $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x}$ et mets-la sous la forme $\frac{x - 1}{x}$ pour étudier son signe.

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