Étude complète d'une fonction avec logarithme

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :

$$f(x)=x-2+\ln (x).$$

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.

3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty [$, et vérifier que $1<\alpha <2$.