Étude de f(x)=ln(x)/x et asymptotes

Difficile
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Énoncé

On considère la fonction définie sur par . On note sa courbe représentative.

1) Déterminer le domaine de définition de et calculer les limites de aux bornes. En déduire les asymptotes.

2) Calculer et dresser le tableau de variations de .

3) Déterminer les coordonnées du point de la courbe où la tangente est horizontale.

Indices

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1 Indice 1
Pour les limites, utilise le résultat de croissance comparée $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$, et regarde le comportement de $\ln x$ et $\dfrac1x$ en $0^+$.
2 Indice 2
Pour $f'(x)$, utilise la formule du quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u=\ln x$ et $v=x$.
3 Indice 3
Le signe de $f'(x)$ ne dépend que du signe de $1-\ln x$ (car $x^2>0$) ; résous $1-\ln x>0$.

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La méthode — par où commencer

Pour les limites, utilise le résultat de croissance comparée , et regarde le comportement de et en .

Pour , utilise la formule du quotient avec et .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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