Une personne emprunte 30 000 DH. La dette restante augmente chaque année de 6% d'intérêts, puis elle rembourse 4 000 DH à la fin de l'année. On note D n la dette restante après n années, avec D 0 = 30 000 . Justifier que D n + 1 = 1 , 06 D n − 4 000 . On pose w n = D n − 0 , 06 4 000 . Montrer que ( w n ) est géométrique de raison 1 , 06 . En déduire l'expression de D n en fonction de n , puis calculer D 2 (arrondir au dirham).

Remboursement d'une dette

Intermédiaire

Énoncé

Une personne emprunte $30000$ DH. La dette restante augmente chaque année de $6%$ d'intérêts, puis elle rembourse $4000$ DH à la fin de l'année. On note $D_{n}$ la dette restante après $n$ années, avec $D_{0} = 30000$ .

Justifier que $D_{n + 1} = 1, 06 D_{n} - 4000$ .
On pose $w_{n} = D_{n} - \frac{4 000}{0 , 06}$ . Montrer que $(w_{n})$ est géométrique de raison $1, 06$ .
En déduire l'expression de $D_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $D_{2}$ (arrondir au dirham).

Indices

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1 Indice 1

Pour justifier la formule de récurrence, décris ce qui arrive à la dette en deux étapes : d'abord elle augmente de $6\%$ (donc tu multiplies par $1{,}06$), puis tu retranches le remboursement de $4\,000$ DH.

2 Indice 2

Pour montrer que $(w_n)$ est géométrique, calcule $w_{n+1}$ en remplaçant $D_{n+1}$ par $1{,}06\,D_n - 4\,000$, puis factorise par $1{,}06$ pour faire apparaître $w_n = D_n - \dfrac{4\,000}{0{,}06}$.

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Pour justifier la formule de récurrence, décris ce qui arrive à la dette en deux étapes : d'abord elle augmente de $6%$ (donc tu multiplies par $1, 06$ ), puis tu retranches le remboursement de $4000$ DH.

Pour montrer que $(w_{n})$ est géométrique, calcule $w_{n + 1}$ en remplaçant $D_{n + 1}$ par $1, 06 D_{n} - 4000$ , puis factorise par $1, 06$ pour faire apparaître $w_{n} = D_{n} - \frac{4 000}{0 , 06}$ .

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