Étude complète d'une suite récurrente affine

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\ge 0$ :

$$u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3.$$

1. Montrer par récurrence que pour tout $n$, $u_n<6$.
2. Montrer que $(u_n)$ est croissante. En déduire qu'elle converge.
3. On pose $v_n=6-u_n$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
4. Retrouver $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ et calculer $S_n=u_0+u_1+\cdots +u_{n-1}$ en fonction de $n$.