Soit la suite ( t n ) définie pour n ≥ 0 par t n = 4 × ( 3 2 ) n . Calculer t 0 et t 1 . Préciser la raison de cette suite géométrique. Déterminer n → + ∞ lim t n en justifiant. Calculer la limite de la somme S n = t 0 + t 1 + ⋯ + t n quand n → + ∞ .

Limite de t_n = 4×(2/3)^n et de sa somme

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Soit la suite $(t_{n})$ définie pour $n \geq 0$ par $t_{n} = 4 \times (\frac{2}{3})^{n}$ .

Calculer $t_{0}$ et $t_{1}$ .
Préciser la raison de cette suite géométrique.
Déterminer $n \to + \infty lim t_{n}$ en justifiant.
Calculer la limite de la somme $S_{n} = t_{0} + t_{1} + \dots + t_{n}$ quand $n \to + \infty$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer $t_0$ et $t_1$, remplace directement $n$ par $0$ puis par $1$ dans la formule $t_n = 4 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}$. Pour la raison, compare $t_1$ et $t_0$.

2 Indice 2

Pour la somme $S_n$, utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : $S_n = t_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. Que devient $q^{n+1}$ quand $n$ tend vers l'infini si $|q| < 1$ ?

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Pour la somme $S_{n}$ , utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : $S_{n} = t_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ . Que devient $q^{n + 1}$ quand $n$ tend vers l'infini si $∣ q ∣ < 1$ ?

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