On considère la suite ( w n ) définie pour tout n ∈ N par w n = n + 3 2 n + 1 . Calculer w 0 , w 1 et w 2 . Étudier le signe de w n + 1 − w n et en déduire la monotonie de ( w n ) . Montrer que pour tout n , w n < 2 .

Variation et majoration de w_n = (2n+1)/(n+3)

Facile

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On considère la suite $(w_{n})$ définie pour tout $n \in N$ par $w_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ .

Calculer $w_{0}$ , $w_{1}$ et $w_{2}$ .
Étudier le signe de $w_{n + 1} - w_{n}$ et en déduire la monotonie de $(w_{n})$ .
Montrer que pour tout $n$ , $w_{n} < 2$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer $w_0$, $w_1$ et $w_2$, remplace simplement $n$ par $0$, puis $1$, puis $2$ dans la formule $w_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$ et simplifie chaque fraction obtenue.

2 Indice 2

Pour étudier le signe de $w_{n+1} - w_n$, commence par écrire $w_{n+1} = \dfrac{2(n+1) + 1}{(n+1) + 3}$, puis mets les deux fractions au même dénominateur et développe le numérateur.

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Pour étudier le signe de $w_{n + 1} - w_{n}$ , commence par écrire $w_{n + 1} = \frac{2 ( n + 1 ) + 1}{( n + 1 ) + 3}$ , puis mets les deux fractions au même dénominateur et développe le numérateur.

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