Au début de chaque année, une personne verse 6 000 dirhams sur un compte rémunéré à 5% par an. On note A n le capital disponible juste après le versement de la n -ième année (le premier versement correspond à n = 1 ). Justifier que A n + 1 = 1 , 05 A n + 6 000 avec A 1 = 6 000 . Déterminer ℓ tel que ℓ = 1 , 05 ℓ + 6 000 . On pose B n = A n − ℓ ; montrer que ( B n ) est géométrique de raison 1 , 05 . En déduire A n en fonction de n , puis calculer A 4 (arrondi au dirham).

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Énoncé

Au début de chaque année, une personne verse $6000$ dirhams sur un compte rémunéré à $5%$ par an. On note $A_{n}$ le capital disponible juste après le versement de la $n$ -ième année (le premier versement correspond à $n = 1$ ).

Justifier que $A_{n + 1} = 1, 05 A_{n} + 6000$ avec $A_{1} = 6000$ .
Déterminer $ℓ$ tel que $ℓ = 1, 05 ℓ + 6000$ . On pose $B_{n} = A_{n} - ℓ$ ; montrer que $(B_{n})$ est géométrique de raison $1, 05$ .
En déduire $A_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $A_{4}$ (arrondi au dirham).

Indices

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1 Indice 1

Pour trouver $\ell$, résous l'équation $\ell = 1{,}05\ell + 6\,000$. Regroupe les termes en $\ell$ d'un côté pour obtenir une équation simple du type $k\ell = 6\,000$.

2 Indice 2

Une fois $\ell$ trouvé, calcule $B_{n+1}$ en remplaçant $A_{n+1}$ par sa relation de récurrence. Factorise ensuite par $1{,}05$ en utilisant le fait que $6\,000 = -0{,}05\ell$.

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Pour trouver $ℓ$ , résous l'équation $ℓ = 1, 05 ℓ + 6000$ . Regroupe les termes en $ℓ$ d'un côté pour obtenir une équation simple du type $k ℓ = 6000$ .

Une fois $ℓ$ trouvé, calcule $B_{n + 1}$ en remplaçant $A_{n + 1}$ par sa relation de récurrence. Factorise ensuite par $1, 05$ en utilisant le fait que $6000 = - 0, 05 ℓ$ .

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