Suite homographique u_(n+1) = (4u_n - 3)/u_n

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=4$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\frac{4u_n-3}{u_n}$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Démontrer par récurrence que pour tout $n$, $u_n>3$.
3. On pose $v_n=\frac{1}{u_n-3}$. Montrer que $v_{n+1}=3v_n+1$, puis, à l'aide de $w_n=v_n+\frac{1}{2}$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
4. En déduire $u_n$ en fonction de $n$, et déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.