Soit ( t n ) définie par t 0 = 1 et pour tout n ∈ N : t n + 1 = 3 t n − 4 . Calculer t 1 , t 2 et t 3 . On pose a n = t n − 2 . Calculer a 0 , a 1 , a 2 et conjecturer la nature de ( a n ) . Démontrer la conjecture.

Premiers termes et conjecture

Facile

Énoncé

Soit $(t_{n})$ définie par $t_{0} = 1$ et pour tout $n \in N$ : $t_{n + 1} = 3 t_{n} - 4$ .

Calculer $t_{1}$ , $t_{2}$ et $t_{3}$ .
On pose $a_{n} = t_{n} - 2$ . Calculer $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ et conjecturer la nature de $(a_{n})$ .
Démontrer la conjecture.

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer $t_1$, $t_2$ et $t_3$, applique la formule de récurrence $t_{n+1} = 3t_n - 4$ en partant de $t_0 = 1$. Remplace $n$ par $0$, puis $1$, puis $2$.

2 Indice 2

Pour $(a_n)$, calcule d'abord $a_0 = t_0 - 2$, puis $a_1 = t_1 - 2$, etc. Compare ensuite $\dfrac{a_1}{a_0}$ et $\dfrac{a_2}{a_1}$ : que remarques-tu sur le quotient ?

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Pour calculer $t_{1}$ , $t_{2}$ et $t_{3}$ , applique la formule de récurrence $t_{n + 1} = 3 t_{n} - 4$ en partant de $t_{0} = 1$ . Remplace $n$ par $0$ , puis $1$ , puis $2$ .

Pour $(a_{n})$ , calcule d'abord $a_{0} = t_{0} - 2$ , puis $a_{1} = t_{1} - 2$ , etc. Compare ensuite $\frac{a _{1}}{a _{0}}$ et $\frac{a _{2}}{a _{1}}$ : que remarques-tu sur le quotient ?

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