La part de marché (en milliers de clients) d'une entreprise vérifie u 0 = 30 et u n + 1 = 0 , 6 u n + 20 . On pose v n = u n − 50 . Montrer que ( v n ) est géométrique et exprimer u n en fonction de n . Démontrer par récurrence que u n < 50 pour tout n . Étudier le sens de variation de ( u n ) , puis déterminer sa limite. Interpréter.

Évolution d'une part de marché

Difficile

La part de marché (en milliers de clients) d'une entreprise vérifie $u_{0} = 30$ et $u_{n + 1} = 0, 6 u_{n} + 20$ .

On pose $v_{n} = u_{n} - 50$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique et exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Démontrer par récurrence que $u_{n} < 50$ pour tout $n$ .
Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ , puis déterminer sa limite. Interpréter.

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1 Indice 1

Le changement de variable $v_n=u_n-50$ vise a faire apparaitre une suite geometrique.

2 Indice 2

Calcule $v_{n+1}$ en remplacant $u_{n+1}$ par son expression, puis factorise pour retrouver $0{,}6\\,v_n$.

3 Indice 3

Pour la limite, souviens-toi que $0{,}6^n\\to 0$ car $0<0{,}6<1$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Le changement de variable $v_{n} = u_{n} - 50$ vise a faire apparaitre une suite geometrique.

Calcule $v_{n + 1}$ en remplacant $u_{n + 1}$ par son expression, puis factorise pour retrouver $0, 6, v_{n}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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