Monotonie et bornes d'une suite récurrente

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Énoncé

On considère la suite définie par et pour tout .

  1. Calculer et (valeurs approchées).
  2. Démontrer par récurrence que pour tout : .
  3. Étudier le signe de et en déduire le sens de variation de .

Indices

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1 Indice 1
Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_0 = 1$ respecte bien l'encadrement. Ensuite, suppose que $0 \leq u_n \leq 3$ et ajoute 6 à chaque membre avant d'appliquer la racine carrée.
2 Indice 2
Pour la variation, calcule $u_{n+1}^2 - u_n^2$ en remplaçant $u_{n+1}^2$ par $u_n + 6$. Tu obtiendras une expression factorisable avec $(u_n - 3)$ et $(u_n + 2)$. Étudie le signe de chaque facteur.

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La méthode — par où commencer

Pour la récurrence, commence par vérifier que respecte bien l'encadrement. Ensuite, suppose que et ajoute 6 à chaque membre avant d'appliquer la racine carrée.

Pour la variation, calcule en remplaçant par . Tu obtiendras une expression factorisable avec et . Étudie le signe de chaque facteur.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Majoration par récurrence pour u_0 = 1, u_(n+1) = (1/2)u_n + 3 Tous les exercices du chapitre Modèle de parts de marché : convergence