Deux entreprises A et B se partagent un marché. On note a n la part (en %) de l'entreprise A l'année n , avec a 0 = 20 . Chaque année, A conserve 80 % de sa part et capte 30 % de la part de B . Comme b n = 100 − a n , on obtient : a n + 1 = 0 , 8 a n + 0 , 3 ( 100 − a n ) = 0 , 5 a n + 30. Déterminer le point fixe ℓ de la relation, c'est-à-dire ℓ = 0 , 5 ℓ + 30 . On pose t n = a n − ℓ . Montrer que ( t n ) est géométrique et exprimer a n en fonction de n . Montrer que ( a n ) est croissante. Déterminer n → + ∞ lim a n et interpréter le résultat pour le marché.

Modèle de parts de marché : convergence

Difficile

Énoncé

Deux entreprises $A$ et $B$ se partagent un marché. On note $a_{n}$ la part (en %) de l'entreprise $A$ l'année $n$ , avec $a_{0} = 20$ . Chaque année, $A$ conserve $80 %$ de sa part et capte $30 %$ de la part de $B$ . Comme $b_{n} = 100 - a_{n}$ , on obtient :

$a_{n + 1} = 0, 8 a_{n} + 0, 3 (100 - a_{n}) = 0, 5 a_{n} + 30.$

Déterminer le point fixe $ℓ$ de la relation, c'est-à-dire $ℓ = 0, 5 ℓ + 30$ .
On pose $t_{n} = a_{n} - ℓ$ . Montrer que $(t_{n})$ est géométrique et exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$ .
Montrer que $(a_{n})$ est croissante.
Déterminer $n \to + \infty lim a_{n}$ et interpréter le résultat pour le marché.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, résous simplement l'équation du point fixe $\ell = 0{,}5\,\ell+30$.

2 Indice 2

Pour la question 2, calcule $t_{n+1} = a_{n+1}-\ell$ en remplaçant $a_{n+1}$ par sa formule de récurrence, et fais apparaître un multiple de $t_n$.

3 Indice 3

Pour les questions 3 et 4, étudie le signe de $a_{n+1}-a_n$ à partir de l'expression explicite de $a_n$, puis utilise que $(0{,}5)^n \to 0$.

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Pour la question 1, résous simplement l'équation du point fixe $ℓ = 0, 5 ℓ + 30$ .

Pour la question 2, calcule $t_{n + 1} = a_{n + 1} - ℓ$ en remplaçant $a_{n + 1}$ par sa formule de récurrence, et fais apparaître un multiple de $t_{n}$ .

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