On considère la suite ( u n ) définie par u 0 = 1 et, pour tout n ≥ 0 : u n + 1 = u n + 2 . Montrer par récurrence que pour tout n , 0 ≤ u n ≤ 2 . Étudier le signe de u n + 1 − u n (on pourra étudier u n 2 + u n − 2 ) et en déduire la monotonie. Justifier que ( u n ) converge, puis déterminer sa limite ℓ .

Suite récurrente bornée et monotone

Intermédiaire

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \geq 0$ :

$u_{n + 1} = u_{n} + 2 .$

Montrer par récurrence que pour tout $n$ , $0 \leq u_{n} \leq 2$ .
Étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ (on pourra étudier $u_{n}^{2} + u_{n} - 2$ ) et en déduire la monotonie.
Justifier que $(u_{n})$ converge, puis déterminer sa limite $ℓ$ .

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