Soit ( u n ) définie par u 0 = 3 et u n + 1 = u n + 3 4 u n + 2 pour n ≥ 0 . On admet u n > 0 pour tout n . On pose v n = u n + 1 u n − 2 . 1) Montrer que ( v n ) est géométrique ; préciser raison et v 0 . 2) Exprimer v n en fonction de n , puis u n . 3) Déterminer n → + ∞ lim u n .

Suite homographique et convergence

Difficile

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = \frac{4 u _{n} + 2}{u _{n} + 3}$ pour $n \geq 0$ . On admet $u_{n} > 0$ pour tout $n$ . On pose $v_{n} = \frac{u _{n} - 2}{u _{n} + 1}$ .

1) Montrer que $(v_{n})$ est géométrique ; préciser raison et $v_{0}$ .

2) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis $u_{n}$ .

3) Déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $(v_n)$ est geometrique, exprime $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ en remplacant $u_{n+1}$ par sa formule, puis simplifie numerateur et denominateur separement.

2 Indice 2

Une fois $v_{n+1} = q \cdot v_n$ obtenu, calcule $v_0$ directement a partir de $u_0 = 3$.

3 Indice 3

Pour retrouver $u_n$, isole $u_n$ dans l'expression $v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+1}$, puis etudie la limite de $v_n$ quand $n \to +\infty$.

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Pour montrer que $(v_{n})$ est geometrique, exprime $v_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ en remplacant $u_{n + 1}$ par sa formule, puis simplifie numerateur et denominateur separement.

Une fois $v_{n + 1} = q \cdot v_{n}$ obtenu, calcule $v_{0}$ directement a partir de $u_{0} = 3$ .

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