Démonstration par récurrence (encadrement d'une suite de revenus)

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Énoncé

On modélise un revenu annuel (en milliers de dirhams) par la suite définie par et, pour tout : .

  1. Calculer et .
  2. Démontrer par récurrence que pour tout : .

Indices

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1 Indice 1
Pour $u_1$ et $u_2$, applique directement la formule de récurrence : remplace $n$ par $0$ puis par $1$ dans $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,u_n + 3$.
2 Indice 2
Pour la récurrence, suppose que $u_n < 6$. Multiplie cette inégalité par $\dfrac{1}{2}$, puis ajoute $3$ aux deux membres pour obtenir une inégalité sur $u_{n+1}$.

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La méthode — par où commencer

Pour et , applique directement la formule de récurrence : remplace par puis par dans .

Pour la récurrence, suppose que . Multiplie cette inégalité par , puis ajoute aux deux membres pour obtenir une inégalité sur .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Récurrence sur la somme des cubes 1³+2³+...+n³ Tous les exercices du chapitre Machine à 80000 dh amortie de 6000 dh par an