Étude de (2x-1)/sqrt(x²+3)

Difficile
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Énoncé

Soit . Justifier que , calculer et dresser le tableau de variations en précisant l'extremum.

Indices

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1 Indice 1
Le denominateur $\sqrt{x^2+3}$ ne s'annule jamais car $x^2+3>0$ pour tout $x$ : c'est ce qui donne $D_f=\mathbb{R}$.
2 Indice 2
Pour deriver $f$, utilise la formule du quotient avec $u=2x-1$ et $v=\sqrt{x^2+3}$ ; n'oublie pas que $v'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$.
3 Indice 3
Simplifie le numerateur de $f'$ pour obtenir une expression du type $\dfrac{x+6}{(x^2+3)^{3/2}}$, puis etudie son signe (le denominateur etant toujours positif).

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La méthode — par où commencer

Le denominateur ne s'annule jamais car pour tout : c'est ce qui donne .

Pour deriver , utilise la formule du quotient avec et ; n'oublie pas que .

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