Croissance et majoration combinées

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = df r a c 14 u_{n} + 3$ pour tout $n in ma t hbb N$ .

1) Montrer par récurrence que $u_{n} l e q 4$ pour tout $n$ .
2) Étudier la monotonie de $(u_{n})$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_0 \leq 4$, puis suppose que $u_n \leq 4$ est vrai. Divise cette inégalité par 4 et ajoute 3 aux deux côtés : que peux-tu dire sur $u_{n+1}$ ?

2 Indice 2

Pour la monotonie, calcule $u_{n+1} - u_n$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression. Factorise par $\dfrac{3}{4}$ et utilise le résultat de la question 1 pour déterminer le signe de cette différence.

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Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_{0} \leq 4$ , puis suppose que $u_{n} \leq 4$ est vrai. Divise cette inégalité par 4 et ajoute 3 aux deux côtés : que peux-tu dire sur $u_{n + 1}$ ?

Pour la monotonie, calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression. Factorise par $\frac{3}{4}$ et utilise le résultat de la question 1 pour déterminer le signe de cette différence.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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