Différence avec fonction homographique

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = df r a c u_{n} + 6 u_{n} + 1$ pour tout $n in ma t hbb N$ .

On admet que $u_{n} > 0$ pour tout $n$ . Montrer par récurrence que $u_{n} g e q 2$ pour tout $n$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour l'hérédité, tu dois montrer que $\dfrac{u_n+6}{u_n+1} \geq 2$. Commence par transformer cette inégalité en utilisant le fait que $u_n+1>0$, puis regarde ce que tu obtiens sur $u_n$.

2 Indice 2

Tu vas te rendre compte qu'il te faut $u_n \leq 4$. Essaie alors de montrer par récurrence l'encadrement complet $2 \leq u_n \leq 4$ : calcule $u_{n+1}-2$ et $u_{n+1}-4$ pour voir leurs signes.

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Pour l'hérédité, tu dois montrer que $\frac{u _{n} + 6}{u _{n} + 1} \geq 2$ . Commence par transformer cette inégalité en utilisant le fait que $u_{n} + 1 > 0$ , puis regarde ce que tu obtiens sur $u_{n}$ .

Tu vas te rendre compte qu'il te faut $u_{n} \leq 4$ . Essaie alors de montrer par récurrence l'encadrement complet $2 \leq u_{n} \leq 4$ : calcule $u_{n + 1} - 2$ et $u_{n + 1} - 4$ pour voir leurs signes.

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