Encadrement, monotonie et limite

Difficile

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = s q r t 2 u_{n} + 3$ pour tout $n in ma t hbb N$ .

1) Montrer par récurrence que $0 l e q u_{n} l e q 3$ pour tout $n$ .
2) Montrer que $(u_{n})$ est croissante via le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la récurrence, suppose $0 \le u_n \le 3$ et encadre d'abord $2u_n + 3$ avant de passer à la racine carrée (fonction croissante).

2 Indice 2

Pour l'étude du signe de $u_{n+1} - u_n$, multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{2u_n+3} + u_n$ pour faire disparaître la racine au numérateur.

3 Indice 3

Factorise le trinôme obtenu au numérateur : $-(u_n^2 - 2u_n - 3) = -(u_n-3)(u_n+1)$, puis utilise l'encadrement de la question 1 pour conclure sur le signe.

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Pour la récurrence, suppose $0 \leq u_{n} \leq 3$ et encadre d'abord $2 u_{n} + 3$ avant de passer à la racine carrée (fonction croissante).

Pour l'étude du signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , multiplie par la quantité conjuguée $2 u_{n} + 3 + u_{n}$ pour faire disparaître la racine au numérateur.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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