Encadrement puis monotonie

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = s q r t u_{n} + 2$ pour tout $n in ma t hbb N$ .

1) Montrer par récurrence que $1 l e q u_{n} l e q 2$ pour tout $n$ .
2) En déduire le sens de variation de $(u_{n})$ via le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_0=1$ est bien dans l'intervalle $[1;2]$. Ensuite, suppose que $1 \leq u_n \leq 2$ et ajoute 2 à chaque membre pour encadrer $u_n+2$, puis prends la racine carrée.

2 Indice 2

Pour le sens de variation, calcule $u_{n+1}-u_n = \sqrt{u_n+2}-u_n$ et multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{u_n+2}+u_n$ pour faire apparaître une forme factorisable au numérateur.

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Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_{0} = 1$ est bien dans l'intervalle $[1; 2]$ . Ensuite, suppose que $1 \leq u_{n} \leq 2$ et ajoute 2 à chaque membre pour encadrer $u_{n} + 2$ , puis prends la racine carrée.

Pour le sens de variation, calcule $u_{n + 1} - u_{n} = u_{n} + 2 - u_{n}$ et multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée $u_{n} + 2 + u_{n}$ pour faire apparaître une forme factorisable au numérateur.

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