Suite auxiliaire vn = un − 6

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = df r a c 12 u_{n} + 3$ pour tout entier $n$ .

On pose $v_{n} = u_{n} - 6$ .

1. Montrer que $(v_{n})$ est géométrique.
2. En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, calcule $v_{n+1}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression, puis factorise pour faire apparaître $v_n = u_n - 6$.

2 Indice 2

Une fois que tu as montré que $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$, utilise la formule générale d'une suite géométrique avec $v_0 = u_0 - 6$, puis isole $u_n$ sachant que $u_n = v_n + 6$.

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Pour montrer que $(v_{n})$ est géométrique, calcule $v_{n + 1}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression, puis factorise pour faire apparaître $v_{n} = u_{n} - 6$ .

Une fois que tu as montré que $v_{n + 1} = \frac{1}{2} v_{n}$ , utilise la formule générale d'une suite géométrique avec $v_{0} = u_{0} - 6$ , puis isole $u_{n}$ sachant que $u_{n} = v_{n} + 6$ .

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