Suite décroissante minorée par récurrence

Difficile

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = df r a c u_{n}^{2} + 2 2 u_{n}$ pour tout $n in ma t hbb N$ .

1) Montrer par récurrence que $u_{n} g e q s q r t 2$ pour tout $n$ .
2) Montrer que $(u_{n})$ est décroissante.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, verifie d'abord l'initialisation $u_0\\geq\\sqrt{2}$, puis pour l'heredite calcule $u_{n+1}^2-2$ en reduisant au meme denominateur.

2 Indice 2

Tu devrais obtenir $u_{n+1}^2-2=\\dfrac{(u_n^2-2)^2}{4u_n^2}$, une quantite toujours positive ou nulle : cela te donne le signe de $u_{n+1}^2-2$.

3 Indice 3

Pour la question 2, calcule $u_{n+1}-u_n$ en reduisant au meme denominateur et utilise le resultat de la question 1 pour conclure sur le signe de $2-u_n^2$.

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Pour la question 1, verifie d'abord l'initialisation $u_{0} g e q s q r t 2$ , puis pour l'heredite calcule $u_{n + 1}^{2} - 2$ en reduisant au meme denominateur.

Tu devrais obtenir $u_{n + 1}^{2} - 2 = df r a c (u_{n}^{2} - 2)^{2} 4 u_{n}^{2}$ , une quantite toujours positive ou nulle : cela te donne le signe de $u_{n + 1}^{2} - 2$ .

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