Suite décroissante minorée

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = df r a c 12 u_{n} + 1$ pour tout $n in ma t hbb N$ .

1) Montrer par récurrence que $u_{n} g e q 2$ pour tout $n$ .
2) Montrer que $(u_{n})$ est décroissante.

Indices

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1 Indice 1

Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_0 \geq 2$. Ensuite, suppose que $u_n \geq 2$ et utilise la relation de récurrence pour encadrer $\dfrac{1}{2}u_n$, puis $u_{n+1}$.

2 Indice 2

Pour la décroissance, calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression. Factorise pour obtenir une fraction, puis utilise le résultat de la question 1) pour déterminer son signe.

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Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_{0} \geq 2$ . Ensuite, suppose que $u_{n} \geq 2$ et utilise la relation de récurrence pour encadrer $\frac{1}{2} u_{n}$ , puis $u_{n + 1}$ .

Pour la décroissance, calcule la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression. Factorise pour obtenir une fraction, puis utilise le résultat de la question 1) pour déterminer son signe.

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