Suite positive croissante avec racine

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = s q r t 3 u_{n}$ pour tout $n in ma t hbb N$ .

1) Montrer par récurrence que $0 < u_{n} l e q 3$ pour tout $n$ .
2) Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_0=2$ appartient bien à l'intervalle $]0;3]$. Ensuite, suppose que $0

2 Indice 2

Pour le sens de variation, calcule $u_{n+1}-u_n = \sqrt{3u_n}-u_n$ puis multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{3u_n}+u_n$ pour faire apparaître un facteur $u_n(3-u_n)$.

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Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_{0} = 2$ appartient bien à l'intervalle $] 0; 3]$ . Ensuite, suppose que $0 < u_{n} \leq 3$ et essaie d'encadrer $3 u_{n}$ en utilisant cet encadrement.

Pour le sens de variation, calcule $u_{n + 1} - u_{n} = 3 u_{n} - u_{n}$ puis multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée $3 u_{n} + u_{n}$ pour faire apparaître un facteur $u_{n} (3 - u_{n})$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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