Convergence de u_(n+1) = √(u_n + 2) par point fixe

Difficile
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Énoncé

Avec la suite précédente (, ), montrer que converge et trouver sa limite.

Indices

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1 Indice 1
Rappelle que si $(u_n)$ est croissante et majorée, elle converge (théorème de convergence monotone).
2 Indice 2
Une fois la convergence établie vers une limite $\ell$, utilise la continuité de la fonction $x\mapsto\sqrt{x+2}$ pour passer à la limite dans $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$.
3 Indice 3
Résous l'équation $\ell=\sqrt{\ell+2}$ en élevant au carré, puis élimine la solution négative grâce au signe de $u_n$.

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La méthode — par où commencer

Rappelle que si est croissante et majorée, elle converge (théorème de convergence monotone).

Une fois la convergence établie vers une limite , utilise la continuité de la fonction pour passer à la limite dans .

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