Suite récurrente avec racine

Difficile
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Énoncé

Soit définie par et . Montrer que , que est croissante, puis déterminer sa limite.

Indices

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1 Indice 1
Pour l'encadrement, utilise une récurrence : suppose $0\leq u_n\leq 3$ et étudie l'effet de $x\mapsto \sqrt{2x+3}$ sur cet intervalle.
2 Indice 2
Pour la monotonie, compare $u_{n+1}$ et $u_n$ en étudiant le signe de $u_{n+1}^2 - u_n^2$ plutôt que directement la différence.
3 Indice 3
Une fois croissance et majoration établies, la suite converge vers une limite $\ell$ qui vérifie $\ell = \sqrt{2\ell+3}$ ; élève au carré pour obtenir une équation du second degré.

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La méthode — par où commencer

Pour l'encadrement, utilise une récurrence : suppose et étudie l'effet de sur cet intervalle.

Pour la monotonie, compare et en étudiant le signe de plutôt que directement la différence.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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