Soient a , b deux entiers strictement positifs tels que pgcd ( a , b ) = 1 . Montrer que pour tout entier n ≥ ab , l'équation a x + b y = n admet au moins une solution ( x , y ) ∈ N 2 . Démontrer que n = ab − a − b ne peut pas s'écrire a x + b y avec x , y ∈ N . (Théorème de Sylvester — résultat admis partiellement.)

Équation diophantienne avec paramètre

Difficile

Soient $a, b$ deux entiers strictement positifs tels que $pgcd (a, b) = 1$ .

Montrer que pour tout entier $n \geq ab$ , l'équation $a x + b y = n$ admet au moins une solution $(x, y) \in N^{2}$ .
Démontrer que $n = ab - a - b$ ne peut pas s'écrire $a x + b y$ avec $x, y \in N$ . (Théorème de Sylvester — résultat admis partiellement.)

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1 Indice 1

Utilise Bezout : $\\gcd(a,b)=1$ donne $au_0+bv_0=1$ pour certains entiers.

2 Indice 2

Pour Q1, ecris une solution generale $x=nu_0+bk$, $y=nv_0-ak$ et ajuste $k$ pour que $0\\le x

3 Indice 3

Pour Q2, raisonne par l'absurde modulo $a$ : $b(y+1)\\equiv 0 \\pmod{a}$ force $y\\ge a-1$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Utilise Bezout : $g c d (a, b) = 1$ donne $a u_{0} + b v_{0} = 1$ pour certains entiers.

Pour Q1, ecris une solution generale $x = n u_{0} + bk$ , $y = n v_{0} - ak$ et ajuste $k$ pour que $0 l e x < b$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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