Aire sous $f(x)=\frac{2\sqrt{x}}{1+x}$ et somme de Riemann

Soit $f$ définie sur $I=[0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{2\sqrt{x}}{1+x}$. Pour tout $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right[$ on pose $g(x)=\underset{0}{\overset{{\tan }^{2}x}{\int }}f(t)dt$.

1. Montrer que $g$ est dérivable sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right[$ et que $g^{\prime }(x)=4{\tan }^{2}x$.
2. Déterminer $g(x)$, puis en déduire l'aire $A$ du domaine limité par $(C_f)$, l'axe $(Ox)$ et les droites $x=0$ et $x=1$.
3. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)$. Montrer que $A-\frac{1}{n}\le S_n\le A$ et en déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.