Binôme de Newton — applications avancées

Difficile
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Énoncé

  1. Développer et montrer que le résultat est un entier.
  2. Trouver le plus grand coefficient binomial pour .
  3. Montrer par la formule du binôme de Newton que : .
  4. Donner une approximation de en utilisant le binôme , en ne conservant que les termes jusqu'à .

Indices

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1 Indice 1
Chaque question repose sur la formule du binome de Newton $(a+b)^n=\\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k$.
2 Indice 2
Pour la question 1, additionne les deux developpements terme a terme : les termes ou $k$ est impair se compensent ; pour la question 3, derive l'identite $(1+x)^n=\\sum C_n^k x^k$ puis pose $x=1$.
3 Indice 3
Pour le plus grand coefficient, souviens-toi qu'il est atteint au centre $k=n/2$, et pour l'approximation ne garde que les premiers termes du developpement de $(1+0{,}01)^{10}$.

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La méthode — par où commencer

Chaque question repose sur la formule du binome de Newton (a+b)^n=\\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k.

Pour la question 1, additionne les deux developpements terme a terme : les termes ou est impair se compensent ; pour la question 3, derive l'identite puis pose .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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