Problème mixte — type Baccalauréat

Difficile
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Énoncé

Un groupe de 10 étudiants (6 garçons et 4 filles) doit se répartir pour un projet.

  1. Combien de façons peut-on choisir un sous-groupe de 4 étudiants parmi les 10 ?
  2. Parmi ces sous-groupes de 4, combien comportent au moins 1 fille ?
  3. On forme un comité de direction de 4 membres avec un président, un vice-président, un trésorier et un secrétaire (4 rôles distincts). Combien de comités comprenant au moins 2 garçons peut-on constituer ?
  4. On dispose de 10 livres distincts : 4 de maths, 3 de physique et 3 d'informatique. On veut choisir 4 livres avec au moins 1 livre de chaque matière. Combien de sélections sont possibles ?

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, utilise directement la formule des combinaisons $C_{10}^{4}$.
2 Indice 2
Pour la question 2, utilise le complémentaire : calcule le nombre de groupes ne contenant aucune fille (uniquement des garçons), puis soustrais du total.
3 Indice 3
Pour la question 3, les rôles étant distincts, décompose par nombre exact de garçons (2, 3 ou 4), en multipliant les combinaisons pour choisir les personnes par $4!$ pour attribuer les rôles.
4 Indice 4
Pour la question 4, décompose selon les répartitions possibles (M, P, I) qui totalisent 4 livres avec au moins 1 de chaque matière, puis somme les produits de combinaisons pour chaque répartition.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, utilise directement la formule des combinaisons .

Pour la question 2, utilise le complémentaire : calcule le nombre de groupes ne contenant aucune fille (uniquement des garçons), puis soustrais du total.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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