A) Soit g définie sur R par g ( x ) = ( 1 − x ) e 2 − x + 1 . Montrer que g ( x ) ≥ 0 pour tout réel x . B) Soit f définie sur R par f ( x ) = x − 2 + x e 2 − x . Calculer x → − ∞ lim f ( x ) et x → + ∞ lim f ( x ) . Montrer que f ′ ( x ) = g ( x ) pour tout réel x et en déduire le sens de variation de f . Montrer que le point A ( 2 ; 2 ) est un point d'inflexion de la courbe et déterminer la tangente ( T ) en ce point.

Tangente, point d'inflexion et asymptote

Difficile

A) Soit $g$ définie sur $R$ par $g (x) = (1 - x) e^{2 - x} + 1$ . Montrer que $g (x) \geq 0$ pour tout réel $x$ .

B) Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x - 2 + x e^{2 - x}$ .

Calculer $x \to - \infty lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .
Montrer que $f^{'} (x) = g (x)$ pour tout réel $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ .
Montrer que le point $A (2; 2)$ est un point d'inflexion de la courbe et déterminer la tangente $(T)$ en ce point.

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1 Indice 1

Pour A, dérive $g$ pour trouver son minimum, puis calcule la valeur de $g$ en ce point.

2 Indice 2

Pour B.1, utilise les croissances comparées : $xe^{2-x}\\to 0$ quand $x\\to+\\infty$ et le terme dominant quand $x\\to-\\infty$.

3 Indice 3

Pour B.2, dérive $f$ pour retrouver $g$. Pour B.3, dérive $f'$ pour obtenir $f''$ et étudie son changement de signe en $x=2$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour A, dérive $g$ pour trouver son minimum, puis calcule la valeur de $g$ en ce point.

Pour B.1, utilise les croissances comparées : $x e^{2 - x} t o 0$ quand $x t o + in f t y$ et le terme dominant quand $x t o - in f t y$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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