Étude complète de la fonction x → ln(x)/x

Étude de fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$, de courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé.

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$, puis interpréter graphiquement.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
3. Déterminer la valeur maximale de $f$.